El dodecágono desparejado

Ya hay solución para el vigésimo tercer desafío matemático con el que EL PAÍS celebra el centenario de la Real Sociedad Matemática Española (ver el vídeo conmemorativo).

Irene Ferrando, profesora de enseñanza secundaria, y Alejandro Miralles, investigador de la Universitat Politècnica de València, ambos profesores del proyecto Estalmat Comunitat Valenciana, propusieron el problema (ver vídeo de la izquierda) y lo resuelven ahora (vídeo de la derecha). Recordemos el enunciado. El desafío consistía en decir si es posible emparejar los vértices de un polígono regular de 12 lados (un dodecágono regular), sin repetir ninguno, para obtener en este caso 6 segmentos de longitud distinta, y justificar la respuesta.

Para este cuarto desafío de agosto se han recibido 360 respuestas, de las que un 85% eran correctas. Efectuado el sorteo entre los acertantes, el ganador de una biblioteca matemática como la que entrega cada semana EL PAÍS ha sido en esta ocasión Miquel Camprodon i Masnou, de Vic (Barcelona). Este domingo, en el quiosco, por 9,95 euros con el periódico, Ideas fugaces, teoremos eternos, de Joaquín Navarro.

La solución propuesta por Irene Ferrando y Alejandro Miralles es la siguiente. No es posible obtener los seis segmentos pedidos. Estos segmentos tendrán longitud 1, 2, 3, 4, 5 y 6. Es obvio que los segmentos de longitud 1, 3 y 5 unirán siempre un vértice par y otro impar, así que la suma de estos dos vértices será un número impar. Sin embargo, los segmentos de longitud 2, 4 y 6 unirán dos vértices de la misma paridad: o bien los dos serán pares o bien los dos serán impares. Por tanto, la suma de los dos vértices de uno de estos segmentos será un número par. Por tanto, la suma de los 12 vértices será la suma de 3 números pares y 3 números impares, que resulta un número impar. Sin embargo, como no se puede repetir vértices, la suma de estos doce vértices es la suma de los números del 1 al 12, que es 78, un número par, lo cual contradice lo anterior y prueba que no es posible obtener tales segmentos.

Todas las soluciones correctas que nos han llegado han utilizado un razonamiento de paridad, pero lo han presentado de maneras diversas. Por ejemplo, Avelino Arduengo lo hace situando pelotas de golf en los lugares impares.

Cabe destacar las soluciones de Antonio Bueno y Manuel Roig, que parten de un polígono cualquiera de n lados, con n un número par, y una configuración inicial de n/2 segmentos de longitud 1. Estudian la suma de las longitudes de tales segmentos, que es n/2, y observan que la paridad de esta suma es un invariante al cambiar los extremos de los segmentos para conseguir otras longitudes. El problema pedido sería equivalente a llegar, a partir de estos cambios, a la suma de las longitudes de los seis segmentos distintos, es decir, 1+2+...+6=21, que debería tener la misma paridad que n/2 para n=12, es decir, 6, lo cuál es obviamente falso.

Francisco Javier Masip envió un cuento muy emotivo sobre un padre que le regalaba un reloj mágico a su hija que podía resolver todos los problemas. En el cuento se daba la solución a este problema.

Ricard Vila y Guillermo Ménguez optaron por enviar un programa informático que estudia el caso de un polígono cualquiera de n lados, con n par, que prueba si se puede resolver el problema e incluso nos da una configuración de parejas en caso afirmativo.

Wolfgang Hintze, David Marín y Sergio Barba-Romero demuestran una condición necesaria para que el problema tenga solución en el caso general de un polígono de n lados: n=8k o n=8k+2.

El jueves plantearemos un nuevo desafío.

12 vértices y ¿seis distancias distintas?

Un dodecágono desparejado